Geometry & Recognition

Douglas-Peucker Algorithm

helloktk — Thu, 03 May 2012 22:28:04 +0900

영상에서 추출한 객체의 경계선은 객체의 모양에 대한 많은 정보를 담고 있지만, 어떤 경우에는 불필요하게 많은 정보가 될 수도 있다. 이런 경우에 원래의 경계를 충분히 닮은 다각형으로 경계선을 근사적으로 기술하는 기법을 써서 불필요한 정보를 제거한다. 다각형 근사에서는 꼭지점이 경계를 표현한다. 물론 이러한 다각형 근사기법이 얼마난 잘 원래의 경계를 표현할 수 있는지에 대한 기준이 있어야 한다. 만약에 N개의 점으로 구성이된 경계 { (xi, yi) | i = 1...N} (영상에서는 경계가 이산적으로 표현이 된다)를 경계의 양끝을 잇는 선분으로 근사를 시도한다면, 이 경우에 에러기준은 각각의 꼭지점에서 이 선분까지의 거리의 제곱의 합 (mean square error)이나, 아니면 그 에 거리중에서 최대값(maximal error)을 기준으로 잡을 수 있을 것이다.

아래는 maximal error를 기준으로 사용하여 주어진 경계를 재귀적으로 분할하는 알고리즘을 구현한 것이다.

// distance square from (x, y) to the line segment AB ;

double point2SegDist2(int x, int y, CPoint A, CPoint B) {

int dx = B.x - A.x ;

int dy = B.y - A.y ;

double lenAB2 = dx * dx + dy * dy ;

int du = x - A.x;

int dv = y - A.y ;

double dot = dx * du + dy * dv ;

if (lenAB2 == 0.0)

return du * du + dv * dv;

if (dot <= 0.0) {

return du * du + dv * dv;

}

else if (dot >= lenAB2) {

du = x - B.x ;

dy = y - B.y ;

return du * du + dv * dv;

}

else {

double slash = du * dy - dv * dx ;

return slash * slash/ lenAB2;

}

};

// 재귀호출을 이용한 Douglas-Peucker 알고리즘;

void DouglasPeucker(double tolerance, CPoint* Vertex, int istart, int iend, int* mark) {

if (iend <= istart+1) // 종료조건;

return;

// Vertex[istart] to Vertex[iend]을 잇는 선분을 기준으로 분할지점을 찾음;

int ibreak = istart; // 선분에서 가장 먼 꼭지점;

double maxdist2 = 0.0; // 가장 먼 꼭지점까지 거리제곱;

double tol2 = tolerance * tolerance; // 임계값의 제곱;

// 주어진 선분에서 가장 먼 꼭지점을 찾는다;

for (int i = istart + 1; i < iend; i++) {

double dist2 = point2SegDist2(Vertex[i].x, Vertex[i].y, Vertex[istart], Vertex[iend]);

// test with current max distance squared

if (dist2 <= maxdist2) continue;

// 현재까지 가장 먼 꼭지점;

ibreak = i;

maxdist2 = dist2;

}

if ( maxdist2 > tol2) { // 가장 먼 꼭지점까지 거리가 임계값을 넘으면==> 분할;

mark[ibreak] = 1; // Vertex[ibreak]를 마킹;

// 재귀적으로 Vertex[ibreak] 좌/우를 분할시도;

DouglasPeucker(tolerance, Vertex, istart, ibreak, mark); //polyline Vertex[istart] to Vertex[ibreak]

DouglasPeucker(tolerance, Vertex, ibreak, iend, mark); //polyline Vertex[ibreak] to Vertex[iend]

}

return;

}

// driver routine;

int polySimplify(double tol, std::vector<CPoint>& Vertex, std::vector<CPoint>& out ) {

out.clear();

if (Vertex.size() < 2) return 0;

std::vector<int> mark(Vertex.size(), 0); // 꼭지점 마킹용 버퍼;

// DP알고리즘을 호출하기 전에 너무 가까운 꼭지점들은 제거하면 보다 효율적인

// 알고리즘을 만들수 있다;

// Douglas-Peucker polyline simplification;

mark[0] = mark[Vertex.size() - 1] = 1; // 처음과 끝은 마킹;

DouglasPeucker( tol, &Vertex[0], 0, Vertex.size() - 1, &mark[0] );

// 마킹된 꼭지점들을 출력;

for (UINT i = 0; i < Vertex.size(); i++) {

if (mark[i]) out.push_back(Vertex[i]);

}

return out.size();

}

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Statistical Region Merging

helloktk — Sun, 25 Mar 2012 19:47:57 +0900

http://www.lix.polytechnique.fr/~nielsen/tpami04-nn.pdf

Abstract—This paper explores a statistical basis for a process often described in computer vision: image segmentation by region merging following a particular order in the choice of regions. We exhibit a particular blend of algorithmics and statistics whose segmentation error is, as we show, limited from both the qualitative and quantitative standpoints. This approach can be efficiently approximated in linear time/space, leading to a fast segmentation algorithm tailored to processing images described using most common numerical pixel attribute spaces. The conceptual simplicity of the approach makes it simple to modify and cope with hard noise corruption, handle occlusion, authorize the control of the segmentation scale, and process unconventional data such as spherical images. Experiments on gray-level and color images, obtained with a short readily available C-code, display the quality of the segmentations obtained.

영상를 보면 인간은 비슷한 픽셀값을 모아서 몇 개의 영역으로 쉽게 나누어서 인식을 한다. 역으로, 우리가 보는 실제영상이 여러 개의 균일한 영역으로 나누어진 기본영상에 추가된 랜덤노이즈에 의해서 만들어졌다고 생각해 보자. 기본영상의 균일한 영역에서 랜덤변수는 일정구간(Q)에서 값을 취하여, 영역의 픽셀값과 더해져서 실제영상의 픽셀값 (0, ... g - 1 = 255)을 만든다. 이렇게 만들어진 실제영상에서의 두 영역의 픽셀평균값의 차이와 기본영상에서 랜덤변수에 의한 통계적 기대값의 차이는 주어진 0 < δ < 1 에 다음과 같은 하한을 갖음을 보일 수 있다:

따라서, 이 하한보다 작은 경우에서 두 영역은 하나로 인식될 수 있다.

#region count = 576; 많은 영역이 1픽셀로 구성이 되었있다;
#region count > 1 = 302;
#region count > 2 = 222;
#region count > 3 = 179;
#region count > 4 = 140;

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Local Histogram Equalization

helloktk — Sat, 10 Mar 2012 18:39:52 +0900

void localHistogramEqualization(BYTE *image, int width, int height, int wsize, BYTE *out) {

int hwsize = wsize >> 1;

wsize = (hwsize << 1) + 1; //odd #;
int topstop = height - wsize;
int leftstop = width - wsize;

for (int y = 0, offset = 0; y < height; y++, offset += width) {

int top = y - hwsize;
top = top < 0 ? 0 : top > topstop ? topstop : top;

BYTE *imgrow = &image[offset];

BYTE *outrow = &out[offset];

for (int x = 0; x < width; x++) {

int left = x - hwsize;

left = left < 0 ? 0 : left > leftstop ? leftstop : left;

//make local histogram;

int histo[256] ;

memset(histo, 0, sizeof(histo));

for (int yy = 0, woffset = top * width + left; yy < wsize; yy++, woffset += width) {

BYTE * winrow = &image[woffset];

for (int xx = 0; xx < wsize; xx++) {

histo[winrow[xx]]++;

}

int level = imgrow[x];

int csum = 0;
if (level < 128) {

for (int k = 0; k <= level; k++) csum += histo[k];
}
else {
csum = wsize * wsize;
for (int k = level + 1; k < 256; k++) csum -= histo[k];
}

//apply local histogram eq.

int a = int((255.0 * csum)/(wsize * wsize)) ;

outrow[x] = (a & ~255) == 0 ? a: a < 0 ? 0: 255;

}

원본:

*global:

*local: wsize=51;

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Monotonic Cubic Spline Interpolation

helloktk — Mon, 05 Mar 2012 18:51:57 +0900

논문:
http://www.univie.ac.at/nuhag-php/bibtex/open_files/6923_10.1.1.7.1055.pdf
http://krein.unica.it/~cornelis/private/PDFNUM/CALCOLO/calcolo_21_281.pdf

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Savitzky-Golay Filter의 주파수 특성

helloktk — Sat, 03 Mar 2012 18:15:43 +0900

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2차원 Savitzky-Golay Filters 응용

helloktk — Tue, 28 Feb 2012 17:45:28 +0900

Savitzky-Golay 필터는 일차원의 데이터에 대해서 일종의 이동평균을 취하는 경우와 동일하게 동작하는 필터이지만, 추정하는 지점의 주변의 모든 점에 동일한 가중치를 주는 방식(이동평균)을 택하지 않고, 그들을 보간하는 다항식을 최소자승법으로 찾아서 해당 지점의 값을 추정하는 방식을 택한다(frequency domain에서 분석을 하면 Savitzky-Golay 필터의 특성, 예를 들면, 피크의 위치나 등이 잘 유지되는 점등, 좀 더 다양하게 볼 수 있다). 이 필터를 쓰기 위해서는 몇 차의 다항식과 얼마의 윈도우 크기를 사용해야 하는지 설정을 해야 한다. (다항식의 찻수가 정해지면 최소의 윈도우 크기가 정해진다).
동일한 방식으로 이차원에 대해서도 Savitzky-Golay를 적용할 수 있다. 이 경우에는 다항식이 (x,y)의 2변수 함수 (2차원 평면에서의 정의되는 곡면)로 주어질 것이다. 이차원의 경우도 국소적인 필터로 사용하여서 영상의 smoothing 필터로 사용할 수 있지만, 필터의 윈도우를 영상전체로 잡아서, 즉 영상을 구성하는 픽셀값을 전 영역에서 보간하는 곡면을 찾을 수도 있다. 이렇게 찾은 곡면은 만들어진 영상의 배경조명이 균일하지 않는 경우에 이 추정된 곡면을 이용하면, 조명에 의한 효과를 예측할 수 있고, 배경조명이 보정된 영상을 만들어서 영상의 인식에 도움을 받을 수 있다. (문서인식에서 문서를 스캔할 때 생기는 균일하지 않은 배경이나, 2차원 코드 인식에서 배경의 추정등 다양한 부분에서 사용할 수 있다. 물론 간단한 경우에는 배경의 변화를 균일하게 기울어진 평면으로 근사를 하여서 추정할 수 있다)

간단한 경우가 3차 다항식으로 영상을 보간하는 경우:

I(x, y) = a₀₀
         + a₁₀*x + a₀₁*y
         + a₂₀*x² + a₁₁*x*y + a₀₂*y²
         + a₃₀*x³+ a₂₁*x²*y + a₁₂*x*y² + a₀₃*y³
                                                      (x, y) ∈ image

다항식은 x = [a₀₀, a₁₀,..., a₀₃]^T 의 10개의 필터계수를 추정하면 얻어진다. 추가적으로 Savitzky-Golay을 이용하면 영상의 미분값을 쉽게 구할 수 있다. 로컬버전의 필터인 경우에 필터적용값은 윈도우의 중심인 (x, y) = (0, 0)에서 다항식 값인 a₀₀이다. 이 지점에서 x-방향의 편미분값은 a₁₀, y방향의 편미분 값은 a₀₁, 식으로 미분값을 구할 수 있다.

필터의 계수 x는 최소자승법 적용하면 얻어질 수 있다. 위의 다항식에 N (= width * height) 개의 픽셀로 구성된 영상의 각각의 픽셀에서의 좌표와 픽셀값을 대입하면, N개의 식을 얻는다. 이것을 행렬식으로 쓰면

A.x = b

A는 N x 10 의 행렬로 각 행은 픽셀의 좌표로 구해진다:

A = [1, x₀, y₀, x₀², x₀*y₀, y₀², x₀³, x₀²*y₀, x₀*y₀², y₀³]
     [1, x₁, y₁, x₁², x₁*y₁, y₁², x₁³, x₁²*y₁, x₁*y₁², y₁³]
     [1, x₂, y₂, x₂², x₂*y₂, y₂², x₂³, x₂²*y₂, x₂*y₂², y₂³]
     [1, .....................................................................]
     [1, .....................................................................]
                       ......................................
     [1, .....................................................................]

여기서, 영상을 읽을 때, i-번째의 픽셀 위치가 (x_i, y_i) 로 주어진 경우다.

b 는 N-(열)벡터로 각각의 픽셀 위치에서 픽셀 값을 나타내는 벡터이다:

b = [ I(x₀, y₀) ]
     [ I(x₁, y₁) ]
     [ I(x₂, y₂) ]
     [ ............]
     [ ............]
      ..............
     [.............]

최소자승법을 적용하면, 추정된 다항식의 계수벡터 x는

x = (A^T .A)^-1.A^T.b

임을 알 수 있다.

이렇게 추정된 2차원 곡면은 영상에서 추정된 배경의 픽셀 값 분포를 의미한다. 문자인식의 예를 들면, 보통의 경우에 흰 배경에 검정색 활자를 인식한다. 스캔된 영상에 검정색 활자들 때문에 추정된 곡명은 일반적으로 주어진 픽셀이 만드는 곡면보다도 낮게 된다. 픽셀 값이 추정된 곡면보다 더 낮은 픽셀들은 보통 검정색 문자들을 의미하므로, 이 차이의 평균값을 구하면, 대략적으로 어떤 픽셀이 배경에 속하는지 (곡면과 차이가 평균보다 작고, 또한 픽셀 값이 곡면의 아래에 놓인 경우), 아니면 문자영역인지(곡면과 차이가 평균보다 크고, 픽셀 값이 곡면의 아래에 놓인 경우)를 구별할 있게 된다.
이제 이 정보들을 이용해서 추정을 다시 하는데 이번에는 1차 추정에서 글자영역으로 분류된 픽셀을 제외하고 배경을 추정하면 좀 더 정확한 배경을 기술하는 곡면을 얻을 수 있다.

로컬버전 필터로 사용할 때는 1차원에서와 마찬가지로 필터계수를 lookup table로 만들어서 사용할 수 있으나, 전영역을 대상으로 할 때는 행렬의 크기가 매우 커져서 연산도 많아진다.

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Wald’s Entropy, Area & Entanglement

helloktk — Sat, 25 Feb 2012 20:55:10 +0900

별로 도움은 안되지만,
http://www.phys.huji.ac.il/~barak_kol/HDGR/proceedings/Brustein.pps

f(R) gravity에서 Wald entropy 계산:
D.N. Vollick, Phys. Rev. D76 (2007) 124001, "Noether charge and black hole entropy in modified theories of gravity". http://arxiv.org/abs/0710.1859
==> based on the Palatini formalism. connection이 일반적으로 metric compatible 하지 않음. 따라서 covariant derivative에 compatible인 새로운 metric을 이용해서 connection을 표현해야 한다. 이 새로운 metric을 이용하면 metric formalism을 그대로 적용가능함.

R. Brustein, D. Gorbonos, M. Hadad and A.J.M. Medved, Phys.Rev. D84 (2011) 064011, "Evaluating the Wald entropy from two-derivative terms in quadratic actions". http://arxiv.org/abs/1106.4394

horizon에서 벗어난 영역에서의 Wald entropy 계산:
R. Brustein, and A.J.M. Medved, "Gravitational entropy and thermodynamics away from the horizon", http://arxiv.org/abs/1201.5754

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Topics in f(R) THEORIES OF GRAVITY

helloktk — Fri, 24 Feb 2012 18:08:52 +0900

http://www.ihes.fr/~vanhove/Slides/deruelle-ihes-apr2010.pdf

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The multiple deaths of Palatini f(R) gravity.

helloktk — Fri, 24 Feb 2012 17:16:57 +0900

http://homepages.mcs.vuw.ac.nz/~visser/Seminars/NZ-seminars/sotiriou-at-canterbury.pdf

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webcam용 QR code detector

helloktk — Sun, 19 Feb 2012 22:35:50 +0900

웹캠의 영상에 들어오는 QR코드의 FinderPattern (topLeft, topRight, bottomLeft ==> 붉은색 십자)와 Alignment pattern(==>초록색 색자)을 찾고, 이들을 이용해서 perspective 변환을 구해서 code의 bounding box을 찾는다. Alignment Pattern을 못찾는 경우에는 bottomRight의 코너(==>초록색 십자)를 찾고, 그마저도 실패하면, FinderPattern 3개을 이용하여서 Affine 변환으로 bounding box을 찾는다.

웹 카메라: 이미지 형식: RGB24만 지원 (마이크로소프트의 vx-1000으로 테스트함)
이미지 크기: 640x480만 지원
영상을 보여주는 Callback함수 내에서 알고리즘을 호출하여서
빠른 컴퓨터에서는 마크가 보이지 않을 수 있음.

테스트용이므로 상업적사용을 허용하지 않음.

실행화일 (detector + decoder 포함):

webcamQRv1.1.zip

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